Des diaboliques diagrammes de Feynman aux angéliques dessins d'enfants de Grothendieck ...

... Est-ce le cœur de la physique qui résonne dans le cœur des mathématiques

ou le cœur des mathématiques qui se révèle au cœur de la physique ?

Pour se faire une idée de la pertinence de cette question je propose de suivre la direction évoquée dans le titre de ce billet et de tracer ci-dessous un parcours de lecture possible dans le jardin des mathématiques à la physicienne qui se dessine peu à peu au fil de ce blog :

• un point d'entrée idéal dans ce "jardin merveilleux" pourrait être ce chapitre du cours informel d'Yves André sur les mathématiques contemporaines s'adressant à des musiciens lors d'un séminaire mamuphi (une version ultérieure, un peu plus formelle car destiné à des professeurs de mathématiques, se trouve ici). On y découvre dans le dernier paragraphe que le lien mystérieux entre diagrammes et dessins est une structure fondamentale appelée groupe de Galois cosmique ou absolu ... selon que son cœur penche pour la physique ou les mathématiques pourrait-on presque dire. Pour reprendre les mots d'André on peut dire que le groupe de Galois absolu code les propriétés de toutes les équations algébriques à coefficients rationnels à la fois et que Grothendieck a proposé de décrire ce groupe au moyen de notions graphiques « si simples qu’un enfant peut les connaître en jouant »; quant-au groupe de Galois cosmique c'est un groupe de symétrie qui porte sur les constantes fondamentales de toutes les théories quantiques des champs renormalisables. C'est-à-dire des théories dont on peut extraire systématiquement "du (dé)fini à partir de l'in(dé)fini" grâce à des règles combinatoires sur des graphes (les fameux diagrammes qui codent les intégrales divergentes de Feynman),
• afin de gouter les plaisirs simples de la géométrie en image et se faire une idée plus concrète de la théorie des dessins d'enfants  il ne faut pas rater cette introduction très claire d'Alexander Zvonkin,
• pour découvrir de manière élémentaire les diagrammes de Feynman qui sont les icônes de la physique théorique du XXème siècle, il faut profiter de ce travail collaboratif exemplaire (en anglais) de blogueurs physiciens des particules et grands utilisateurs de cet outil complexe,
• mais si l'on veut vraiment rentrer dans le cœur du problème on doit oser se plonger dans un article de synthèse fondateur (en anglais) d'Alain Connes et Mathilde Marcolli qui présente rigoureusement le lien entre les calculs d'intégrales de Feynman et la théorie des motifs de Grothendieck. Le texte est d'une extraordinaire technicité mais au moins l'introduction brosse un panorama très vaste du champ des possibles pour le chercheur ou le passionné du lien entre physique et théorie des nombres, 
• pour connaître plus intimement quelques acteurs actuels de ce sujet de recherche il faut consulter un vrai blog de mathématiques à l'état de l'art et en particulier ce billet et son commentaire (on découvrira au passage ce qui a partiellement "motivé" ce billet ci),
• il reste à expliciter ce qui se cache derrière les qualificatifs angéliques et diaboliques choisis dans le titre. C'est une référence à la Figure et au Nombre, autrement dit "Zahlen und Figuren", titre d'un  texte de réflexion (en anglais) de Yuri Manin qui évoque l'ange de la géométrie et le diable de l'algèbre cher au grand mathématicien allemand Hermann Weyl.

Pour en savoir un peu plus sur la figure hors norme de Grothendieck, il est intéressant de lire le témoignage de deux mathématiciens de générations différentes qui l'ont bien connu :

• celui de Pierre Cartier qui est en passant le mathématicien qui a conjecturé l'existence du groupe de Galois cosmique dans cette conférence,
• celui de Luc Illusie, au ton plus personnel et émouvant, présente en particulier l'intérêt de contenir la citation suivante: " He [Grothendieck] had also started thinking about other topics: physics (he told me he had been reading books by Feynman), biology ...". C'est à ma connaissance la connexion la plus littérale qu'on puisse faire entre ces deux géants aux biographies si différentes.

Bon cheminement ...