Le Nombre, le Poids et la Mesure (ou l'algèbre, la géométrie et l'analyse)

Ange de la géométrie ...

Les mathématiques fonctionnent sur deux registres complémentaires, le « visuel », qui perçoit instantanément le sens d’un théorème sur une figure géométrique, et l’ « écrit », qui s’appuie sur le langage, sur l’algèbre, et s’inscrit dans le temps. Selon Hermann Weyl, « l’ange de la géométrie et le diable de l’algèbre » se partagent la scène, ce qui illustre bien les difficultés respectives des deux domaines.

Communiqué à l'occasion de la médaille d'Or 2004 du CNRS attribué à Alain Connes

... ou ange de la topologie?

En cherchant la source de cette citation de Hermann Weyl, le blogueur tombe sur une autre mieux documentée :

In these days the angel of topology and the devil of abstract algebra fight for the soul of every individual discipline of mathematics

Hermann Weyl, Topology and Abstract Algebra as two Roads of Mathematical Comprehension, 1935

Le diable est dans les détails ... de la géométrie algébrique?

Approfondissons donc cette question du rapport précisément entre diable de l'algèbre abstraite et ange de la topologie, à travers la tentative de réponse suivante (à une question posée sur le site physicsforum.com) :

If you are a geometer, and have much experience with learning sheaf theory, and cohomology, you will understand what he is saying. Tthere are even geometric topoologists who dislike algebraic topology. I have tried to teach toric varieties to geometers and topologists who after seeing the definitions via spectra of various rings, asked, "OK, but where is the geometry? how do you get your HANDS on them?"

• There is a feeling that algebraic methods take away intuition and render simple arguments too abstract. e.g. do you believe an irreducible non singular affine algebraic curve is really an integrally closed integral domain of krull dimension one?

• or that the tangent bundle to a variety is really the set of k[e] valued points where k[e] = k[t](t^2) is the dual numbers? (actually this is fermat's original definition, almost.)

• or that a universal family of geometric objects should be regarded as a representable functor?

• or that the right way to view a sheaf on a topological space is as a contravariant functor on category defined by the toopology where inclusions are the only morphisms?

You should, as this gives rise to the observation that one can generalize them to categories with more than one map between two objects, leading to the etale topology, and "stacks" where even single points have automorphisms.

These are needed to deal appropriately with local quotient spaces by groups acting with fixed points.

Topologists tend to prefer homotopy to homology for this reaon, it is more geometric. Ed Brown Jr. considered his representation thoerem for cohomology as showing that cohomology was better than homology because being representable via homotopy showed that "it occurs in nature".

Mathwonk (alias d'un professeur émérite d'une université américaine), What is Hermann Weyl point? 03/05/07

Mais diable et ange existent-ils vraiment pour le mathématicien?
Le français André Weil, non moins célèbre et géomètre algébriste que le précédent mathématicien allemand dont il est le quasi-homonyme, a cette réponse :

Dieu existe comme les mathématiques sont conséquentes et le Démon existe comme nous ne pouvons pas le prouver.

André Weil

Si oui, est-ce Dieu le géomètre?
Ce point de vue a une longue tradition :

Dans le Timée, Platon décrit la création du cosmos sous forme d'une mise en ordre harmonieuse d'un état initialement indifférencié avec l'idée que le processus de création doit être guidé par les principes supérieurs de la géométrie. Cette thèse s'illustre au Moyen Âge par un Dieu géomètre, muni d'un compas, qui ordonne la création : "Dieu a créé toutes choses selon le Nombre, le Poids, la Mesure" dit le Livre de la sagesse de Salomon (XI, 21).

Au XVIIIe siècle, à mesure que la science se construit, la notion de création sur le mode mathématique se précise : les modèles cosmogoniques, tel celui développé par Laplace dans son traité sur la Mécanique céleste (1798-1825), font l'économie d'un créateur.

Didier Müller, Dieu le géomètre, 04/06/07

Quid de l'Analyse ?

Si Dieu est géomètre et le Diable est un algébriste, l'Homme est peut-être un analyste qui ne peut que comparer les infinis à défaut de pouvoir les mesurer à cause du temps qui lui est compté ...

Voici justement pour finir les propos d'un célèbre analyste et géomètre, platonicien convaincu, digne successeur de Poincaré. Il parle de ce qui est, je pense, sa langue de prédilection : l'algèbre.

L'algèbre cela n'a rien de visuel, en revanche cela a une temporalité, ça s'inscrit dans le temps! C'est le calcul, etc. C'est quelque chose qui évolue, et c'est quelque chose qui est très proche du langage et qui donc a la précision diabolique du langage.

 Alain Connes, L'impitoyable réalité, dans Les Déchiffreurs, 2008.