Le plus court chemin de la physique vers les maths passerait-il par la normale tandis que la route la plus sûre des maths à la physique consisterait à prendre la tangente?

//Bilan personnel de l'été et de la rentrée 2013

Duel virtuel autour du réel (entre deux théories duales ou énantiomères ?) 

Des lectures récentes (1,2,3) de textes portant respectivement sur l'histoire de l'élaboration du Modèle Standard (article de S. Weinberg), la construction de modèles supersymétriques (article de F. Wilzcek) ainsi que sur l'émergence d'une possible théorie de grande unification non commutative de la physique des particules (article de A. Devastato et al.) ont conduit le blogueur à s'interroger à nouveau sur les destins respectifs de la physique des cordes ou M-théorie promue par E. Witten et la géométrie non commutative élaborée par A. Connes. 

Force est de constater que la première théorie, née dans le champs de la physique spéculative pourrait bien ne pas avoir l'incarnation phénoménologique défendue par Witten, c'est-à-dire ne permettrait pas de progresser - au moins pour le moment - dans notre compréhension de la physique aux échelles d'énergie accessibles expérimentalement. Au contraire la seconde théorie, née dans le chateau des mathématiques abstraites est en passe de trouver une incarnation phénoménologique sérieuse dans la nouvelle ère de la physique après la découverte du boson de Higgs. 

La comparaison entre ces deux constructions et aventures intellectuelles peut se poursuivre de façon duale, de la sphère physique du réel vers son pendant mathématique. Elle nous tend alors une sorte de miroir où succès et échec seraient inversés tels deux énantiomères chimiques. Il est en effet admis que les travaux de Witten ont déjà permis des avancées majeures dans le territoire mathématique alors que les progrès de Connes pour défricher par exemple une nouvelle voix d'accès à l'une des plus fameuse conjecture mathématique (celle de Riemann) n'ont pas encore été jugés suffisamment significatifs par tous ses pairs. 

Il reste à espérer que les physiciens sauront entendre la musique de la nouvelle géométrie promue par Connes laquelle fait résonner le champ des possibles de la physique post-Higgs, comme les mathématiciens ont déjà appris à tirer profit des outils forgés par Witten pour élargir leur vision du jardin des merveilles mathématiques. En attendant, le blogueur a décidé de chroniquer sa lutte personnelle pour progresser dans la compréhension du monde quantique à l'aide de l'outil heuristique que représente le programme de la géométrie non commutative dans un nouveau blog : Quantumostinato.  

Bien qu'[Edward Witten] soit avant tout un physicien (comme le montre clairement la liste de ses publications), sa maîtrise des mathématiques surpasse de loin la plupart des mathématiciens. Il a chaque fois surpris la communauté mathématique par la brillante application de sa perspicacité physique et a ainsi mené à de nouveaux et profonds théorèmes mathématiques... Il a eu un profond impact sur les mathématiques contemporaines. Entre ses mains la physique constitue à nouveau une riche source d'inspiration et de compréhension des mathématiques. 

Michael Atiyah, On the work of edward Witten, 1990 

[in 1999] Connes proved that his prime-based quantum system has energy levels corresponding to all the Riemann zeros that lie on the critical line. He will win the fame [...] if he can make one last step: prove that there aren't any extra zeros hanging around, unaccounted for by his energy levels.

That last step is a formidable one. Has Connes simply replaced the Riemann hypothesis with an equally difficult question? Some experts advise caution. "I still think that some major new idea is needed here," says Bombieri. Berry, for his part, doesn't flinch at the mathematical peculiarity of Connes's system. "I'm absolutely sure that if he's right, someone will find a clever way to make it in the lab. Then you'll get the Riemann zeros out just by observing its spectrum."

Errica Klarreich , Prime Time, 11/11/00

//Modification du titre et ajout de la dernière phrase le 15/12/13.

//Ajout des deux citations le 07/01/14

René Thom, Vladimir Arnold et Michael Berry

La théorie des catastrophes : des mathématiques abstraites à la physique phénoménologique

Conseil de lecture : http://royalsociety.org/library/moments/catastrophe-optics/ puis conseil de visite associé : la bibliothèque en ligne des articles écrits par ce formidable physicien-mathématicien M. Berry. Puisse comme moi l'amateur curieux apprécier la clarté avec laquelle nous est donnée à voir cette théorie mathématique des catastrophes développée par R. Thom et V. Arnol, illustrant si remarquablement les perles naturelles de mathématique révélées par la physique expérimentale et nous faisant rêver sur les diamants bruts de structures mathématiques qui sont toujours à extraire des mines parfois très noires de la physique théorique. 

Copyright: Michael Berry

Donner à voir et entendre l'espace-chant du théâtre quantique mais pas seulement...

Donner à voir et entendre ...
Ce n'est pas un secret pour le lecteur régulier de ce blog ci (et d'autres), je suis tombé amoureux il y a fort longtemps d'une certaine vision non-commutative du monde, celle initiée par Alain Connes en particulier qui offre un point de vue passionnant sur la physique quantique et ses extensions possibles. Elle m'a indirectement mise sur la voie de mon sujet de thèse, elle est l'un de mes guides favoris pour voyager dans la jungle des publications en ligne de physique théorique. C'est aussi un prisme précieux pour analyser les enjeux conceptuels qui se cachent derrières le formalisme mathématique... 

Découvrant hier par hasard l'existence conjointe et d'une très récente émission radiophonique ayant pour invité le fameux mathématicien et d'un roman écrit par lui avec deux proches et sortant ce mois-ci, mon esprit  se met à bouillir à l'évocation du terme "théâtre quantique", et se fend d'un premier commentaire là, quant-à moi je tente ici une première distillation personnelle d'idées en train de condenser ...

L'espace-chant du théâtre quantique

La physique quantique est née de l'observation et de la tentative de modélisation des phénomènes de l'infiniment petit, inaccessibles aux microscopes ordinaires, ceux qui utilisent la lumière visible, mais dont la phénoménologie est née d'abord de l'analyse des spectres de lumière émis par les atomes; analyse rendue possible par la construction des spectroscopes à partir du dix-neuvième siècle. 

Il est frappant de voir à quel point la géométrie noncommutative de Connes s'appuie sur cette dimension spectrale des phénomènes. 

Il faut noter aussi la dualité entre un espace directe qui repère des positions de particules et l'espace réciproque qui décrit leur dynamique à travers des impulsions.

Il est indispensable enfin de souligner que cette vision d'un espace infiniment sécable et d'une dynamique mesurable à toute échelle est pour ainsi dire un fantasme pour reprendre la terminologie d'un texte du mathématicien Thierry Paul. 

L'expression espace-chant se voudrait être une évocation des possibilités offertes par la géométrie noncommutative, le terme chant résonnerait à la fois avec la notion de champs employée dans les théories quantiques du même nom, et avec la notion de temps musical beaucoup plus polysémique que le temps de la mécanique pour distiller des métaphores aptes à mieux éclairer sa nature spectrale.

L'espace-temps du théâtre moderne

La physique moderne est née en résumé de l'analyse du mouvement initiée par Galilée grâce à l'étude comparée de mesures précises de l'espace et du temps, étude qui permettra de forger la notion effective de vitesse instantanée puis d'accélération et aboutissant à la dynamique de Newton. Elle est née aussi de l'étude comparée des mouvements des objets sur Terre et de ceux qui peuplent le Ciel, cet infiniment grand désacralisé par l'observation à la lunette puis au télescope de la Lune, du Soleil, des Comètes...

L'espace-écran du théâtre classique 

Que doit la géométrie classique, axiomatisée par (le mathématicien?) Euclide entre le IV et III siècles avant J.C., à cette autre science grecque parmi les plus anciennes : l'optique, "la science de la vision", pour laquelle le même (physicien?) Euclide a laissé probablement le traité le plus ancien connu à ce jour?

Sans revenir sur les débats philologiques concernant la paternité de ces théories, rappelons quand même l'extraordinaire originalité de leurs présentations axiomatiques-déductives. Soulignons aussi que contrairement à ce qu'on peut encore trop souvent lire, cette optique géométrique d'Euclide ne se réduit probablement pas à une naïve description de rayons émanant de l’œil pour aller vers la surface palpable des choses vues. Elle est plus vraisemblablement une subtile modélisation du flux lumineux capturé par l’œil, à travers les notions de cône visuel et de faisceaux de rayons, ces derniers étant discrétisés pour tenir compte d'une donnée anatomique : la structure filamenteuse de la rétine, connue et décrite par Herophile de Calcédoine, possible contemporain d'Euclide! C'est du moins ce que suggère Lucio Russo dans son livre The Forgotten Revolution (p149).

A propos d'obstructions cohomologiques ou comment dessiner de merveilleuses figures impossibles qui ne peuvent pas être réelles ...

En cherchant des informations suffisamment précises sur un sujet a priori très perché : les obstructions cohomologiques, le blogueur, qui avait en tête cette célèbre figure impossible : 

Triangle de Penrose ou tripoutre (tribar en anglais)

imaginée par le mathématicien Roger Penrose dans les années 50, a eu la joie de découvrir un peu par hasard (et donc de partager avec son lecteur) ce texte du même Penrose, en anglais et en français. Le célèbre mathématicien y présente le formalisme permettant de décrire l'obstruction du passage de la tripoutre du plan à l'espace tridimensionnel, autrement dit ce qui empêche cette figure bidimensionnelle d'être la projection plane d'un objet tridimensionnel ...

//ajout 25/05/13
Cette recherche est partie d'une autre figure impossible (voir ci-dessous), dont j'ignore l'origine et le nom, figure employée par le physicien Jean-Marc Lévy Leblond dans les années 70 pour illustrer les limites de la dualité onde-corpuscule en mécanique quantique ...

Triapason ?

(pour sonner le glas de la dualité onde-corpuscule ;-)

Le lecteur curieux, qui n'a pas peur des mathématiques et de l'anglais, peut suivre les traces de la cohomologie dans la vie de tous les jours à travers cette entrée du blog The n-Category Café ou en lisant les contributions à cette problématique sur le site collaboratif mahtoverflow

Le Réel, le Possible et le Merveilleux

En écho à la fin du précédent billet, voici une évocation du platonisme moderne incarné par la pensée du même auteur que précédemment et qui s'inscrit parfaitement dans la problématique de notre blog :

... c'est une erreur de vouloir réduire les mathématiques à un langage, parce que justement, quand on fait des mathématiques, on s'aperçoit d'une chose qui est miraculeuse, c'est que c'est l'inverse de ce que l'on pense. C'est-à-dire que le pouvoir explicatif des mathématiques dans le réel, dans la réalité de la physique, est tel qu'au bout d'un moment, on a vraiment l'impression qu'au lieu que les mathématiques soient justement une création de l'esprit humain, autoréférentielle, c'est l'inverse qui se produit : c'est-à-dire qu'on peut arriver à situer la physique à l'intérieur des mathématiques… et le monde réel, presqu'à l'intérieur des mathématiques. On parlait tout à l'heure de nombres ; mais les mathématiques c'est quelque chose d'infiniment plus 

complexe, d'infiniment plus riche, c'est un peu comme Alice au pays des merveilles ! Il y a une partie des mathématiques qui a effectivement émergé du monde réel, de la physique. Mais lorsqu'on se pose les bonnes questions, et lorsqu'on suit une trajectoire qui est assez naturelle, on est un peu comme Alice au pays des merveilles : on ouvre des portes sur des mondes qui ne sont pas des mondes connectés au monde physique, qui sont des mondes merveilleux. Et qui sont merveilleux non pas seulement par leur propre cohérence interne, mais par les surprises qu'ils nous réservent, et par la résistance qu'ils ont. Exactement comme la réalité extérieure qui résiste (et qui donc nous répond quand on lui pose des questions), le monde mathématique a cette qualité extraordinaire, qu'on n'a pas, justement, contrairement à ce qui a été dit avant, on n'a pas cette liberté. On a une liberté pour créer des instruments de pensée qui nous permettent de voir le monde mathématique, mais le monde mathématique, lui, il est parfaitement résistant. Les mathématiciens explorent un territoire, ils ne le créent pas. Ils créent des instruments, pour y voir dans ce monde-là : c'est un monde qu'ils découvrent. Il est présent et on ne peut pas le modifier : il est tel qu'il est.

Alain Connes, Entretien avec Anne Segal & Gérard Cartier, Revue Secousse, mars 2012 

Le Nombre, le Poids et la Mesure (ou l'algèbre, la géométrie et l'analyse)

Ange de la géométrie ...

Les mathématiques fonctionnent sur deux registres complémentaires, le « visuel », qui perçoit instantanément le sens d’un théorème sur une figure géométrique, et l’ « écrit », qui s’appuie sur le langage, sur l’algèbre, et s’inscrit dans le temps. Selon Hermann Weyl, « l’ange de la géométrie et le diable de l’algèbre » se partagent la scène, ce qui illustre bien les difficultés respectives des deux domaines.

Communiqué à l'occasion de la médaille d'Or 2004 du CNRS attribué à Alain Connes

... ou ange de la topologie?

En cherchant la source de cette citation de Hermann Weyl, le blogueur tombe sur une autre mieux documentée :

In these days the angel of topology and the devil of abstract algebra fight for the soul of every individual discipline of mathematics

Hermann Weyl, Topology and Abstract Algebra as two Roads of Mathematical Comprehension, 1935

Le diable est dans les détails ... de la géométrie algébrique?

Approfondissons donc cette question du rapport précisément entre diable de l'algèbre abstraite et ange de la topologie, à travers la tentative de réponse suivante (à une question posée sur le site physicsforum.com) :

If you are a geometer, and have much experience with learning sheaf theory, and cohomology, you will understand what he is saying. Tthere are even geometric topoologists who dislike algebraic topology. I have tried to teach toric varieties to geometers and topologists who after seeing the definitions via spectra of various rings, asked, "OK, but where is the geometry? how do you get your HANDS on them?"

• There is a feeling that algebraic methods take away intuition and render simple arguments too abstract. e.g. do you believe an irreducible non singular affine algebraic curve is really an integrally closed integral domain of krull dimension one?

• or that the tangent bundle to a variety is really the set of k[e] valued points where k[e] = k[t](t^2) is the dual numbers? (actually this is fermat's original definition, almost.)

• or that a universal family of geometric objects should be regarded as a representable functor?

• or that the right way to view a sheaf on a topological space is as a contravariant functor on category defined by the toopology where inclusions are the only morphisms?

You should, as this gives rise to the observation that one can generalize them to categories with more than one map between two objects, leading to the etale topology, and "stacks" where even single points have automorphisms.

These are needed to deal appropriately with local quotient spaces by groups acting with fixed points.

Topologists tend to prefer homotopy to homology for this reaon, it is more geometric. Ed Brown Jr. considered his representation thoerem for cohomology as showing that cohomology was better than homology because being representable via homotopy showed that "it occurs in nature".

Mathwonk (alias d'un professeur émérite d'une université américaine), What is Hermann Weyl point? 03/05/07

Mais diable et ange existent-ils vraiment pour le mathématicien?
Le français André Weil, non moins célèbre et géomètre algébriste que le précédent mathématicien allemand dont il est le quasi-homonyme, a cette réponse :

Dieu existe comme les mathématiques sont conséquentes et le Démon existe comme nous ne pouvons pas le prouver.

André Weil

Si oui, est-ce Dieu le géomètre?
Ce point de vue a une longue tradition :

Dans le Timée, Platon décrit la création du cosmos sous forme d'une mise en ordre harmonieuse d'un état initialement indifférencié avec l'idée que le processus de création doit être guidé par les principes supérieurs de la géométrie. Cette thèse s'illustre au Moyen Âge par un Dieu géomètre, muni d'un compas, qui ordonne la création : "Dieu a créé toutes choses selon le Nombre, le Poids, la Mesure" dit le Livre de la sagesse de Salomon (XI, 21).

Au XVIIIe siècle, à mesure que la science se construit, la notion de création sur le mode mathématique se précise : les modèles cosmogoniques, tel celui développé par Laplace dans son traité sur la Mécanique céleste (1798-1825), font l'économie d'un créateur.

Didier Müller, Dieu le géomètre, 04/06/07

Quid de l'Analyse ?

Si Dieu est géomètre et le Diable est un algébriste, l'Homme est peut-être un analyste qui ne peut que comparer les infinis à défaut de pouvoir les mesurer à cause du temps qui lui est compté ...

Voici justement pour finir les propos d'un célèbre analyste et géomètre, platonicien convaincu, digne successeur de Poincaré. Il parle de ce qui est, je pense, sa langue de prédilection : l'algèbre.

L'algèbre cela n'a rien de visuel, en revanche cela a une temporalité, ça s'inscrit dans le temps! C'est le calcul, etc. C'est quelque chose qui évolue, et c'est quelque chose qui est très proche du langage et qui donc a la précision diabolique du langage.

 Alain Connes, L'impitoyable réalité, dans Les Déchiffreurs, 2008.

Le mathématicien et le physicien face au cauchemar des différentes erreurs ou conventions de signes

La semaine des mathématiques nous est passée sous le nez mais pas la remise du prix Abel 2013 ;-)

Elle vient en effet de se terminer en France, le blogueur très occupé ailleurs par une semaine chargée l'apprend incidemment et trop tard, en cherchant des informations sur le site de Cédric Villani qui y consacrait un billet en début de semaine passée. 

Par contre la lecture plus ancienne d'un autre blog m'avais permis de me préparer un peu à la remise cette même semaine d'une des plus prestigieuses récompenses mathématiques à Pierre Deligne qui se trouvait en plus être justement à(l'un des) Par(a)i(di)s (des mathématiciens : l'IHES)!

Pierre Deligne (et Daniel S. Freed) : distille(nt) et vendange(nt) les conventions de signes

Puisqu'on s'intéresse essentiellement dans ce blog aux relations entre physique et mathématique(s) c'est l'occasion de signaler (même si c'est évidemment un peu anedoctique par rapport à ses contributions fondamentales) un article dont le premier auteur est Pierre Deligne et qui est consacré aux théories classiques des champs supersymmétriques issues de problématiques liées à la physique théorique. A propos de la rédaction de cet article ils écrivent ceci :

Writing this has been an absolute cauchemar de signes! Standard differential geometry has some bad signs, classical field theory has tricky sign conventions, and odd variables add a whole new level of complication. Our sign conventions are explained in ... [appendix Sign Manifesto].

L'appendice consacré à l'épineux problème des conventions de signes contient entre autre cet extrait éclairant sur les raisons objectives des différences de conventions entre physiciens et mathématiciens ...

Feu, lumière et lucidité

La Mathématique est une difficile entreprise de lucidité
La Physique est une patiente analyse de la lumière
Toutes deux guident l'Homme dans sa maîtrise du feu

//ajout du 24/03/13

En écho anecdotique à cet aphorisme (inspiré par le souvenir de propos tenus par Daniel Sibony dans une émission dont nous avons déjà parlé ici) voilà un commentaire en anglais, déposé sur un blog connus de nombreux physiciens (et cher aux cordistes) à propos d'un sujet dont nous allons vite reparler :

Hands and eyes are helpful for brain just like physics and math for scientific knowledge or fire and ligth for humankind (I am pretty sure), big mouth and highbrow are dispensable (I guess) ...

La critique s'adresse ici non pas à l'auteur du blog The Reference Frame mais à un autre commentateur du même billet aux propos caricaturaux (sinon puérils) sur une possible hiérarchie entre mathématiques et physique...

La physique théorique est un rêve périmathématique ...

... entre intuitions formelles ou expérimentales, qui n'a de sens qu'au réveil à travers la mesure et la preuve.



//Travail de réécriture du 29/08/2013 : ajout du préfixe péri...