Le mathématicien et le physicien face au cauchemar des différentes erreurs ou conventions de signes

La semaine des mathématiques nous est passée sous le nez mais pas la remise du prix Abel 2013 ;-)

Elle vient en effet de se terminer en France, le blogueur très occupé ailleurs par une semaine chargée l'apprend incidemment et trop tard, en cherchant des informations sur le site de Cédric Villani qui y consacrait un billet en début de semaine passée. 

Par contre la lecture plus ancienne d'un autre blog m'avais permis de me préparer un peu à la remise cette même semaine d'une des plus prestigieuses récompenses mathématiques à Pierre Deligne qui se trouvait en plus être justement à(l'un des) Par(a)i(di)s (des mathématiciens : l'IHES)!

Pierre Deligne (et Daniel S. Freed) : distille(nt) et vendange(nt) les conventions de signes

Puisqu'on s'intéresse essentiellement dans ce blog aux relations entre physique et mathématique(s) c'est l'occasion de signaler (même si c'est évidemment un peu anedoctique par rapport à ses contributions fondamentales) un article dont le premier auteur est Pierre Deligne et qui est consacré aux théories classiques des champs supersymmétriques issues de problématiques liées à la physique théorique. A propos de la rédaction de cet article ils écrivent ceci :

Writing this has been an absolute cauchemar de signes! Standard differential geometry has some bad signs, classical field theory has tricky sign conventions, and odd variables add a whole new level of complication. Our sign conventions are explained in ... [appendix Sign Manifesto].

L'appendice consacré à l'épineux problème des conventions de signes contient entre autre cet extrait éclairant sur les raisons objectives des différences de conventions entre physiciens et mathématiciens ...

Feu, lumière et lucidité

La Mathématique est une difficile entreprise de lucidité
La Physique est une patiente analyse de la lumière
Toutes deux guident l'Homme dans sa maîtrise du feu

//ajout du 24/03/13

En écho anecdotique à cet aphorisme (inspiré par le souvenir de propos tenus par Daniel Sibony dans une émission dont nous avons déjà parlé ici) voilà un commentaire en anglais, déposé sur un blog connus de nombreux physiciens (et cher aux cordistes) à propos d'un sujet dont nous allons vite reparler :

Hands and eyes are helpful for brain just like physics and math for scientific knowledge or fire and ligth for humankind (I am pretty sure), big mouth and highbrow are dispensable (I guess) ...

La critique s'adresse ici non pas à l'auteur du blog The Reference Frame mais à un autre commentateur du même billet aux propos caricaturaux (sinon puérils) sur une possible hiérarchie entre mathématiques et physique...

La physique théorique est un rêve périmathématique ...

... entre intuitions formelles ou expérimentales, qui n'a de sens qu'au réveil à travers la mesure et la preuve.



//Travail de réécriture du 29/08/2013 : ajout du préfixe péri...

Le mathématicien (ne) peut (pas) se passer du physicien (pour intégrer le réel parmi les imaginaires possibles)

Clin d'oeil à un billet écrit sur un blog compagnon ...

La réflexion du titre est inspirée par une citation d'Alain Connes extraite d'un film projeté lors de l'exposition : MATHEMATIQUES un dépaysement soudain à la fondation Cartier , Paris 2011

" ... le réel physique n'est rien d'autre que la superposition de possibles imaginaires ..." 

Réplique à un billet écrit dans ce blog ci :

Et si les physiciens avaient commencé à forger les bons outils pour attaquer la correspondance de Langlands ... avant les mathématiciens? Voici en tout cas un extrait d'un texte de Daniel Bennequin qui alimente le débat:

L'amateur est derrière l'écran et l'enchanteur devant, ou l'inverse ...

Un bilan personnel de l'été 2012

En lisant les billets écrits jusqu'à présent sur ce blog ci, ou sur l'ébauche de celui-là et plus sûrement encore sur ce dernier, on aura compris que je suis un simple amateur de (l'application de la) géométrie non-commutative (à la physique). Un amateur, comme on l'est de musique ou de mathématiques sans nécessairement être musicien ou mathématicien professionnel mais quand même physicien de formation; un amateur donc, qui se pique de suivre l'actualité savante parce qu'elle est maintenant accessible au plus grand nombre et qui prend plaisir à diffuser à tous la joie de la découverte rapportée par les plus grands, que ce soit récemment dans ce blog en anglais pour Alain Connes ou dans celui-ci (en français) pour Cédric Villani.

Comme un enfant sur les épaules d'un ou deux géants

"Petit" j'ai été plongé par une délicieuse fée radiophonique dans un bain d'idées étonnantes qui ont été semées par le vent de la physique avant d'être récoltées dans le champ des mathématiques. L'histoire de la théorie des cordes est duale de celle de la géométrie non-commutative de mon point de vue. Ici au Collège de France c'est un mathématicien (A. Connes), là-bas à Princeton c'est un physicien (E. Witten) qui ont accompli, chacun à sa manière, une partie du travail. Le hasard de la géographie m'a permis de suivre quelques cours du premier, malheureusement jamais du second. Je connais donc encore moins bien une théorie que l'autre, mais cet été a distillé en moi suffisamment de confiance pour osez monter sur les épaules de ces deux géants et explorer avec eux de nouveaux espaces!

Voici pour finir une vidéo de chacun de ces géants

• celle du mathématicien Alain Connes qui (ré)enchante à chaque fois le physicien qui vibre en moi par sa puissance évocatrice et sa spontanéité :

• celle du physicien théoricien Edward Witten toujours fascinant par la clarté de ses exposés et le soin extrême qu'il apporte à son expression orale :

Essai de platonisme absolu (ou naïf) : et si les mathématiciens avaient trouvé le Higgs avant les physiciens ?

Tout commence avec une démonstration du Lemme fondamental et l'évocation de mystérieuses fibrations de Hitchin qui auraient des liens avec la physique mathématique d'après cet article du site Images des mathématiques.
L'investigation se poursuit avec la lecture d'un premier article de celui qui a prouvé le Lemme fondamental Ngô Bao Châu puis d'un second plus récent qui trace la route ouverte par la démonstration précédente (le programme de Langlands). Dans une référence bibliographique on découvre l'expression Higgs bundles soit fibrés de Higgs !
On passe à l'article fondateur (en anglais) de Hitchin et là surprise le vocabulaire change : on y parle d'équations de Yang Mills, de solutions physiques de types instanton et monopole magnétique puis de champ de Higgs ! Les perspectives ont bougé, le physicien semble retrouver un paysage familier. 
Mais alors la question cruciale maintenant est : le champ(s) de Higgs de la physique est-il identique à l'objet mathématique inventé par Hitchin ?
Après moult recherches on découvre sans y croire tant notre question était naïve à nos yeux que quelqu'un d'autre se l'est posée aussi et nous en parle, c'est Edouard Witten en personne dans cet article dont voici l'extrait qui nous a décidé à écrire ce billet :

MIRROR SYMMETRY, HITCHIN’S EQUATIONS, AND LANGLANDS DUALITY

...

Remark 2.1. As an aside, one may ask how closely related φ, known in the present context as the Higgs field, is to the Higgs fields of particle physics. Thus, to what extent is the terminology that was introduced in Hitchin (1987a) actually justified? The main difference is that Higgs fields in particle physics are scalar fields, while φ is a one-form on C (valued in each case in some representation of the gauge group). However, although Hitchin’s equations were first written down and studied directly, they can be obtained from N = 4 supersymmetric gauge theory via a sort of twisting procedure (similar to the procedure that leads from N = 2 supersymmetric gauge theory to Donaldson theory). In this twisting procedure, some of the Higgs-like scalar fields of N = 4 super Yang-Mills theory are indeed converted into the Higgs field that enters in Hitchin’s equations. This gives a reasonable justification for the terminology.

Hitchin, N. J. (1987a), ‘The Self-Duality Equations On A Riemann Surface’, Proc. London Math. Society (3) 55, 67.

Pour finir, rien de mieux que célébrer avec Michael Atiyah, Robbert Dijkgraaf et Hitchin les étonnantes interactions de la Géométrie et de la Physique qui ont lieu aujourd'hui sous nos yeux.

Sur les traces du premier spectre ...

Si l'on en croit cette conférence de Jean Mawhin éminent mathématicien belge spécialiste d'analyse, la première trace écrite du terme "spectre" apparaît dans une lettre d'Isaac Newton datée de 1672. Le célèbre physicien et mathématicien anglais, père de la science moderne, y décrit son questionnement à propos d'une expérience d'optique (déjà classique à son époque) où la tache circulaire et uniformément blanche d'un rayon de soleil projeté sur un mur se trouve soudainement étalée en un pinceau lumineux aux couleurs de l'arc en ciel lorsqu'on interpose un prisme de verre sur le trajet de la lumière. Voici dans cet extrait d'un texte en anglais ce qu'affirme précisément Mawhin :

D'après le même auteur (et l'information est confirmée ailleurs) la première occurrence du terme dans un contexte mathématique apparaît chez l'autrichien Wilhelm Wirtinger en 1897 à propos d'un travail sur l'équation différentielle dite de Hill. Le mot spectre acquerra au début du XX siècle une place de choix dans le corpus mathématique avec David Hilbert, fondateur de la théorie spectrale des opérateurs. C'est au travail d'historien du mathématicien français Jean Dieudonné qu'on doit cette information semble-t-il :

//ajout du 03/12/19
Voici le lien vers la lettre manuscrite de Newton dans laquelle apparaît pour la première fois le terme "spectrum" dans son acception physique :

  Comparing the length of this coloured Spectrum with its breadth, I found it about five times greater; a disproportion so extravagant, that it excited me to a more then ordinary curiosity of examining, from whence it might proceed. I could scarce think, that the various Thickness of the glass, or the termination with shadow or darkness, could have any Influence on light to produce such an effect; yet I thought it not amiss, first to examine those circumstances, and so tryed, what would happen by transmitting light through parts of the glass of divers thicknesses, or through holes in the window of divers bignesses, or by setting the Prisme without so, that the light might pass through it, and be refracted before it was terminated by the hole: But I found none of those circumstances material. The fashion of the colours was in all these cases the same.

transcription of A Letter of Mr. Isaac Newton, Professor of the Mathematicks in the University of Cambridge; containing his New Theory about Light and Colors: sent by the Author to the Publisher from Cambridge, Febr. 6. 1671727172; in order to be communicated to the R. Society.

 


Et voilà le lien vers l'article original de Wilhelm Wirtinger sensé être le premier où figure l'emploi du terme spectre ("Bandenspectrum" pour être plus précis me semble-t-il) en mathématique.