Tout commence avec une démonstration du
Lemme fondamental et l'évocation de mystérieuses fibrations de Hitchin qui auraient des liens avec la physique mathématique d'après
cet article du site
Images des mathématiques.
L'investigation se poursuit avec la lecture d'un premier
article de celui qui a prouvé le Lemme fondamental Ngô Bao Châu puis d'un
second plus récent qui trace la route ouverte par la démonstration précédente (le programme de
Langlands).
Dans une référence bibliographique on découvre l'expression
Higgs bundles soit
fibrés de Higgs !
On passe à l'
article fondateur (en anglais) de Hitchin et là surprise le vocabulaire change : on y parle d'équations de Yang Mills, de solutions physiques de types instanton et monopole magnétique puis de champ de Higgs ! Les perspectives ont bougé, le physicien semble retrouver un paysage familier.
Mais alors la question cruciale maintenant est : le champ(s) de Higgs de la physique est-il identique à l'objet mathématique inventé par Hitchin ?
Après moult recherches on découvre sans y croire tant notre question était naïve à nos yeux que quelqu'un d'autre se l'est posée aussi et nous en parle, c'est
Edouard Witten en personne dans cet
article dont voici l'extrait qui nous a décidé à écrire ce billet :
MIRROR SYMMETRY, HITCHIN’S EQUATIONS, AND LANGLANDS DUALITY
...
Remark 2.1. As an aside, one may ask how closely related φ, known in the present context as the Higgs field, is to the Higgs fields of particle physics. Thus, to what extent is the terminology that was introduced in Hitchin (1987a) actually justified? The main difference is that Higgs fields in particle physics are scalar fields, while φ is a one-form on C (valued in each case in some representation of the gauge group). However, although Hitchin’s equations were first written down and studied directly, they can be obtained from N = 4 supersymmetric gauge theory via a sort of twisting procedure (similar to the procedure that leads from N = 2 supersymmetric gauge theory to Donaldson theory). In this twisting procedure, some of the Higgs-like scalar fields of N = 4 super Yang-Mills theory are indeed converted into the Higgs field that enters in Hitchin’s equations. This gives a reasonable justification for the terminology.
Hitchin, N. J. (1987a), ‘The Self-Duality Equations On A Riemann Surface’, Proc. London Math. Society (3) 55, 67.
