Il n'y a guère de paradoxe sans utilité
Leibniz in Lettre à l'Hospital, M. S. II p302
L'axiome du choix permet de casser une boule en un nombre fini de morceaux, puis de réajuster tous ces morceaux pour former exactement une boule de rayon différent! Ce théorème connu sous le nom de paradoxe de Banach-Tarski... semble contredire que ces deux boules ont des volumes différents! Mais ce n'est pas ainsi qu'il faut le comprendre; ce résultat est en effet motivé par son corollaire, à savoir qu'il est impossible de parler du volume d'une partie arbitraire de l'espace, dès lors qu'on impose à la fonction volume de satisfaire aux trois propriétés suivantes : deux parties de l'espace exactement superposables ont même volume, le volume de la réunion d'une famille finie de parties disjointes est la somme des parties de ces parties, et deux boules de rayons différents ont des volumes différents. Ce paradoxe n'en est donc pas un, car les morceaux de boules dont il énonce l'existence sont si irréguliers qu'on ne peut pas parler de leur volume : celui-ci n'est ni nul ni non nul, il n'est tout simplement pas défini. Et bien entendu cette fraction des boules n'a pas de sens physique ...
Gilles GodefroyEd. Odile Jacob
The axiom of choice allows you to break a ball into a finite number of pieces, then readjust all these pieces to form exactly one ball of different radius! This theorem known as Banach-Tarski's paradox... seems to contradict that these two balls have different volumes! But this is not the way to understand it; this result is indeed motivated by its corollary, namely that it is impossible to speak of the volume of an arbitrary part of space, if the volume function is required to satisfy the following three properties: two exactly superposable parts of space have the same volume, the volume of the reunion of a finite family of disjoined parts is the sum of the parts of these parts, and two balls of different radii have different volumes. This paradox is therefore not a paradox, because the pieces of balls whose existence it states are so irregular that it is impossible to talk about their volume: it is neither zero nor non-zero, it is simply not defined. And of course this fraction of the balls has no physical meaning...
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