L'amateur est derrière l'écran et l'enchanteur devant, ou l'inverse ...

Un bilan personnel de l'été 2012

En lisant les billets écrits jusqu'à présent sur ce blog ci, ou sur l'ébauche de celui-là et plus sûrement encore sur ce dernier, on aura compris que je suis un simple amateur de (l'application de la) géométrie non-commutative (à la physique). Un amateur, comme on l'est de musique ou de mathématiques sans nécessairement être musicien ou mathématicien professionnel mais quand même physicien de formation; un amateur donc, qui se pique de suivre l'actualité savante parce qu'elle est maintenant accessible au plus grand nombre et qui prend plaisir à diffuser à tous la joie de la découverte rapportée par les plus grands, que ce soit récemment dans ce blog en anglais pour Alain Connes ou dans celui-ci (en français) pour Cédric Villani.

Comme un enfant sur les épaules d'un ou deux géants

"Petit" j'ai été plongé par une délicieuse fée radiophonique dans un bain d'idées étonnantes qui ont été semées par le vent de la physique avant d'être récoltées dans le champ des mathématiques. L'histoire de la théorie des cordes est duale de celle de la géométrie non-commutative de mon point de vue. Ici au Collège de France c'est un mathématicien (A. Connes), là-bas à Princeton c'est un physicien (E. Witten) qui ont accompli, chacun à sa manière, une partie du travail. Le hasard de la géographie m'a permis de suivre quelques cours du premier, malheureusement jamais du second. Je connais donc encore moins bien une théorie que l'autre, mais cet été a distillé en moi suffisamment de confiance pour osez monter sur les épaules de ces deux géants et explorer avec eux de nouveaux espaces!

Voici pour finir une vidéo de chacun de ces géants

• celle du mathématicien Alain Connes qui (ré)enchante à chaque fois le physicien qui vibre en moi par sa puissance évocatrice et sa spontanéité :

• celle du physicien théoricien Edward Witten toujours fascinant par la clarté de ses exposés et le soin extrême qu'il apporte à son expression orale :

Essai de platonisme absolu (ou naïf) : et si les mathématiciens avaient trouvé le Higgs avant les physiciens ?

Tout commence avec une démonstration du Lemme fondamental et l'évocation de mystérieuses fibrations de Hitchin qui auraient des liens avec la physique mathématique d'après cet article du site Images des mathématiques.
L'investigation se poursuit avec la lecture d'un premier article de celui qui a prouvé le Lemme fondamental Ngô Bao Châu puis d'un second plus récent qui trace la route ouverte par la démonstration précédente (le programme de Langlands). Dans une référence bibliographique on découvre l'expression Higgs bundles soit fibrés de Higgs !
On passe à l'article fondateur (en anglais) de Hitchin et là surprise le vocabulaire change : on y parle d'équations de Yang Mills, de solutions physiques de types instanton et monopole magnétique puis de champ de Higgs ! Les perspectives ont bougé, le physicien semble retrouver un paysage familier. 
Mais alors la question cruciale maintenant est : le champ(s) de Higgs de la physique est-il identique à l'objet mathématique inventé par Hitchin ?
Après moult recherches on découvre sans y croire tant notre question était naïve à nos yeux que quelqu'un d'autre se l'est posée aussi et nous en parle, c'est Edouard Witten en personne dans cet article dont voici l'extrait qui nous a décidé à écrire ce billet :

MIRROR SYMMETRY, HITCHIN’S EQUATIONS, AND LANGLANDS DUALITY

...

Remark 2.1. As an aside, one may ask how closely related φ, known in the present context as the Higgs field, is to the Higgs fields of particle physics. Thus, to what extent is the terminology that was introduced in Hitchin (1987a) actually justified? The main difference is that Higgs fields in particle physics are scalar fields, while φ is a one-form on C (valued in each case in some representation of the gauge group). However, although Hitchin’s equations were first written down and studied directly, they can be obtained from N = 4 supersymmetric gauge theory via a sort of twisting procedure (similar to the procedure that leads from N = 2 supersymmetric gauge theory to Donaldson theory). In this twisting procedure, some of the Higgs-like scalar fields of N = 4 super Yang-Mills theory are indeed converted into the Higgs field that enters in Hitchin’s equations. This gives a reasonable justification for the terminology.

Hitchin, N. J. (1987a), ‘The Self-Duality Equations On A Riemann Surface’, Proc. London Math. Society (3) 55, 67.

Pour finir, rien de mieux que célébrer avec Michael Atiyah, Robbert Dijkgraaf et Hitchin les étonnantes interactions de la Géométrie et de la Physique qui ont lieu aujourd'hui sous nos yeux.